f(x)=x^4-x^3-x^2-x
Eine quartische Funktion
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Basiswissen
f(x) = x⁴-x³-x²-x ist die Gleichung einer quartischen Funktion. Quartisch heißt: der höchste Exponenten von x ist die Zahl vier. Ein anderer Name für diese Funktion ist ganzrationale Funktion vierten Grades. Hier stehen die Eigenschaften des Graphen.
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f(x) = x⁴-x³-x²-x Ist eine
Graph
Diskussion
- Alle reellen Zahlen als Definitionsbereich ↗
- x ≥ -2,3315 als Wertebereich ↗
- (0|0) ist eine Nullstelle ↗
- (1,8392|0) ist eine Nullstelle ↗
- (1,2885|-2,3315) ist ein Tiefpunkt ↗
- Nicht vorhanden Hochpunkt ↗
- (-0,2287|-0,1910) ist ein Wendepunkt ↗
- Nicht vorhanden Sattelpunkt ↗
- Siehe auch Kurvendiskussion ↗
Ableitungen
- f(x)=x⁴-x³-x²-x
- f'(x)=4x³-3x²-2x-1
- f''(x)=12x²-6x-2
- f'''(x)=24x-6
- f''''(x)=24
- f'''''(x)=0
- f''''''(x)=0
Aufleitung
- F(x)=⅕·x⁵-¼·x⁴-⅓·x³-½·x²+C
Als Aufleitung bezeichnet man eine Stammfunktion F(x). Das große C ist die sogenannte Integrationskonstante. Siehe auch ganzrationale Funktion aufleiten ↗
Exkurs
Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann zwei Hoch- oder auch zwei Tiefpunkte haben. Gleichzeitig sind diese Funktion vergleichsweise einfach abzuleiten. Damit eignen sie sich als modellhaftes Beispiel für eine sogenantne Erfolgslandschaft im Sinne einer darwinistischen Evolutionstheorie: die interesssante Frage ist, wie man den höchsten der zwei Hochpunkte finden kann, wenn man nichts über den Gesamtverlauf des Graphen weiß, sondern immer nur einzelne Funktionswerte abfragen kann. Siehe mehr zu diesem Thema der Evolutionsbiologie im Artikel zur Funktion f(x)=-x^4+0,5x^3+2x^2 ↗