Basiswissen

f(x) = x⁴-x³-x²-x ist die Gleichung einer quartischen Funktion. Quartisch heißt: der höchste Exponenten von x ist die Zahl vier. Ein anderer Name für diese Funktion ist ganzrationale Funktion vierten Grades. Hier stehen die Eigenschaften des Graphen.

Bildbeschreibung und Urheberrecht — Der Graph der quartischen Funktion f(x)=x^4-x³-x²-x, eine sogenannte Parabel vierter Ordnung☛

f(x) = x⁴-x³-x²-x Ist eine

👉 Quartische Funktion

👉 Ganzrationale Funktion vierten Grades

Graph

👉 Parabel vierter Ordnung

👉 nicht achsensymmetrisch zur y-Achse

👉 nicht punktsymmetrisch zum Ursprung

Diskussion

Alle reellen Zahlen als 👉 Definitionsbereich

x ≥ -2,3315 als 👉 Wertebereich

ℝ 👉 Definitionsbereich

(0|0) ist eine 👉 Nullstelle

(1,8392|0) ist eine 👉 Nullstelle

(1,2885|-2,3315) ist ein 👉 Tiefpunkt

Nicht vorhanden 👉 Hochpunkt

(-0,2287|-0,1910) ist ein 👉 Wendepunkt

Nicht vorhanden 👉 Sattelpunkt

Siehe auch 👉 Kurvendiskussion

Ableitungen

f(x)=x⁴-x³-x²-x

f'(x)=4x³-3x²-2x-1

f''(x)=12x²-6x-2

f'''(x)=24x-6

f''''(x)=24

f'''''(x)=0

f''''''(x)=0

Aufleitung

F(x)=⅕·x⁵-¼·x⁴-⅓·x³-½·x²+C

Als Aufleitung bezeichnet man eine Stammfunktion F(x). Das große C ist die sogenannte Integrationskonstante. Siehe auch 👉 ganzrationale Funktion aufleiten

Exkurs

Eine ganzrationale Funktion vierten Grades kann zwei Hoch- oder auch zwei Tiefpunkte haben. Gleichzeitig sind diese Funktion vergleichsweise einfach abzuleiten. Damit eignen sie sich als modellhaftes Beispiel für eine sogenantne Erfolgslandschaft im Sinne einer darwinistischen Evolutionstheorie: die interesssante Frage ist, wie man den höchsten der zwei Hochpunkte finden kann, wenn man nichts über den Gesamtverlauf des Graphen weiß, sondern immer nur einzelne Funktionswerte abfragen kann. Siehe mehr zu diesem Thema der Evolutionsbiologie im Artikel zur Funktion 👉 f(x)=-x^4+0,5x^3+2x^2